「～の味方で、～に味方して」を表すon your sideとby your side。
onを使うこととbyを使うことでなにが違ってくるのか。その違いについてまとめておきたいと思います。
on your side
on one’s sideは「～の味方で、～に味方して」というような意味を表します。
これは「～サイドの立場にいる、～サイドの意見をのもつ」というニュアンスからきているものです。
I’m on your side. Your boyfriend says wrong.
わたしはあなたの味方だな。あなたの彼氏の言ってることおかしいもん。
I’m not on anyone’s side.
わたしはどちらの肩も持っていないよ。
Time is on our side.
時間が味方になってくれている。（＝時間に余裕がある。）
▼参考：on the sideの意味と使いかもあわせてチェック！
by your side
by one’s sideも「～の味方で」という意味がありますが、on one’s sideとはちょっと使い方が違います。
これについては、あらためて英英辞典を確認してみましょう。
the place directly to the right or left of someone — usually singular
・I stood at/by her side as she spoke to reporters.
・I was standing on her left side.
・She set/put the book to the/one side and looked out the window.— often used figuratively
・His wife stood at/by his side [=remained loyal to him] throughout the scandal.
・Promise me that you will not leave my side. [=abandon me]
誰かのすぐ右隣や左隣ー通常は単数形
・彼女がレポーターに話しているとき、私は彼女の側に立っていた。
・私は彼女の左脇に立っていた。
・彼女は本を横に置いて、窓の外を見た。
ー比喩的に使われることが多い
・彼の妻はスキャンダルの間中、彼の味方だった（＝彼に忠実であった）。
・私の側を離れないと約束してください。(＝私を見捨てる)
英英辞典からは、by one’s sideは「～の側にいる」という意味であって、これが比ゆ的に使われることで「～の味方でいる」という意味を表していることがわかります。
on one’s sideが「～サイド」のようなポジションを表すニュアンスがあるのに対して、by one’s sideは寄り添っているニュアンスがある、と解釈できるでしょう。
I’ll always be by your side.
わたしはいつでもあなたの味方だよ。
My husband stood by my side through tough times.
わたしの夫はつらい時も味方でいてくれた。
Thank you for staying by my side.
味方でいてくれてありがとう。
まとめ
前置詞の違いって難しいけど、理解できるとぐっとネイティブの感覚に近づける。
～の味方で
- on your side：～サイドの立場にいる、～サイドの意見をのもつ
- by your side：～の側にいる
